基础数学示例

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} - \frac{6 a - 5}{a^{2} - 10 a + 25}$

解题步骤 1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} - \frac{6 a - 5}{a^{2} - 10 a + 5^{2}}$

解题步骤 1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

解题步骤 1.3

重写多项式。

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} - \frac{6 a - 5}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}}$

解题步骤 1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} - \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

要将 $\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} \cdot \frac{{(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2}} - \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a^{2} \cdot (2 a) - 35}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$ 。

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} \cdot \frac{{(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2}} - \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} \cdot (2 a) - 35}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a^{2} \cdot (2 a) - 35) {(a - 5)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$ 乘以 $\frac{{(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2}}{(a^{2} \cdot (2 a) - 35) {(a - 5)}^{2}} - \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} \cdot (2 a) - 35}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}}$ 乘以 $\frac{a^{2} \cdot (2 a) - 35}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$ 。

$\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2}}{(a^{2} \cdot (2 a) - 35) {(a - 5)}^{2}} - \frac{(6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(a^{2} \cdot (2 a) - 35) {(a - 5)}^{2}$ 的因式。

$\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)} - \frac{(6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2} - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6

以因式分解的形式重写 $\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2} - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$ 。

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解题步骤 6.1

将 ${(a - 5)}^{2}$ 重写为 $(a - 5) (a - 5)$ 。

$\frac{(8 a + 5) ((a - 5) (a - 5)) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.2

使用 FOIL 方法展开 $(a - 5) (a - 5)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$\frac{(8 a + 5) (a (a - 5) - 5 (a - 5)) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$\frac{(8 a + 5) (a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 (a - 5)) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$\frac{(8 a + 5) (a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{(8 a + 5) (a^{2} + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $- 5$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{(8 a + 5) (a^{2} - 5 a - 5 a - 5 \cdot - 5) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{(8 a + 5) (a^{2} - 5 a - 5 a + 25) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.3.2

从 $- 5 a$ 中减去 $5 a$ 。

$\frac{(8 a + 5) (a^{2} - 10 a + 25) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(8 a + 5) (a^{2} - 10 a + 25)$ 。

$\frac{8 a \cdot a^{2} + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

移动 $a^{2}$ 。

$\frac{8 (a^{2} a) + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.1.2

将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 6.5.1.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 (a^{2} a^{1}) + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 a^{2 + 1} + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 a^{3} + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 a^{3} + 8 \cdot - 10 a \cdot a + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.3

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 6.5.3.1

移动 $a$ 。

$\frac{8 a^{3} + 8 \cdot - 10 (a \cdot a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.3.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{8 a^{3} + 8 \cdot - 10 a^{2} + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.4

将 $8$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{8 a^{3} - 80 a^{2} + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.5

将 $25$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 a^{3} - 80 a^{2} + 200 a + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.6

将 $- 10$ 乘以 $5$ 。

$\frac{8 a^{3} - 80 a^{2} + 200 a + 5 a^{2} - 50 a + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.5.7

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$\frac{8 a^{3} - 80 a^{2} + 200 a + 5 a^{2} - 50 a + 125 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.6

将 $- 80 a^{2}$ 和 $5 a^{2}$ 相加。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 200 a - 50 a + 125 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.7

从 $200 a$ 中减去 $50 a$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.8

运用分配律。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- (6 a) - - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.9

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a - - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.10

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.11

化简每一项。

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解题步骤 6.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 a^{2} a - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.11.2

通过指数相加将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 6.11.2.1

移动 $a$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 (a \cdot a^{2}) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.11.2.2

将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 6.11.2.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 (a^{1} a^{2}) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 a^{1 + 2} - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.11.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 a^{3} - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.12

使用 FOIL 方法展开 $(- 6 a + 5) (2 a^{3} - 35)$ 。

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解题步骤 6.12.1

运用分配律。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 a (2 a^{3} - 35) + 5 (2 a^{3} - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.12.2

运用分配律。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 a (2 a^{3}) - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3} - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.12.3

运用分配律。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 a (2 a^{3}) - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13

化简每一项。

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解题步骤 6.13.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 a \cdot a^{3} - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13.2

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a^{3}$ 。

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解题步骤 6.13.2.1

移动 $a^{3}$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 (a^{3} a) - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13.2.2

将 $a^{3}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 6.13.2.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 (a^{3} a^{1}) - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 a^{3 + 1} - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 a^{4} - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13.3

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13.4

将 $- 35$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} + 210 a + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} + 210 a + 10 a^{3} + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.13.6

将 $5$ 乘以 $- 35$ 。

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} + 210 a + 10 a^{3} - 175}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.14

将 $8 a^{3}$ 和 $10 a^{3}$ 相加。

$\frac{18 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} + 210 a - 175}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.15

将 $150 a$ 和 $210 a$ 相加。

$\frac{18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a + 125 - 12 a^{4} - 175}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.16

从 $125$ 中减去 $175$ 。

$\frac{18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 12 a^{4} - 50}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.17

重新排序项。

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

解题步骤 6.18

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 a^{2} a - 35)}$

解题步骤 6.19

通过指数相加将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 6.19.1

移动 $a$ 。

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 (a \cdot a^{2}) - 35)}$

解题步骤 6.19.2

将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 6.19.2.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 (a^{1} a^{2}) - 35)}$

解题步骤 6.19.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 a^{1 + 2} - 35)}$

解题步骤 6.19.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 a^{3} - 35)}$

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